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La représentation des entiers relatifs Pour représenter les entiers relatifs en notation binaire, on doit étendre la représentation aux nombres négati fs. Une solution est de réserver un bit pour le signe de l’entier à repr ésenter et d’utiliser les autres pour représenter sa valeur absolue. Ainsi, avec des mots de 16 bits, en utilisant 1 bit pour le signe et 15 bits pour la valeur absolue, on pourrait repré- senter les entiers relatifs de -111 1111 1111 1111 =-(2 15 -1)=-32767 à 111 1111 1111 1111 =2 15 - 1 = 32 767. Cependant, cette méthode a plusieurs inconvénients, l’un d’eux étan t qu’il y a deux zéros, l’un positif et l’autre négatif. On a donc préféré une autre méthode, qui consiste à représenter un entier relatif par un entier naturel. Si on utilise des mots de 16 bits, on peut repré- senter les entiers relatifs compris en tre -32 768 et 32 767 : on représente un entier relatif x positif ou nul comme l’entier naturel x , et un entier relatif x strictement négatif comme l’entier naturel x +2 16 = x + 65 536, qui est compris entre 32 768 et 65 535. Ainsi, les entiers naturels de 0 à 32 767 servent à représenter les entiers relatifs positifs ou nuls, en vert sur la figure, et les entiers naturels de 32 768 à 65 535 décrivent les entiers relatifs stric- tement négatifs, en rouge sur la figure. L’entier relatif -1 est représenté co mme l’entier naturel 65 535, c’est-à- dire par le mot 1111 1111 1111 1111 . Cette manière de représenter les entier s relatifs s’appelle la notation en complément à deux . Avec des mots de seize bits, on écrit les entiers relatifs compris entre -2 15 = -32 768 et 2 15 - 1 = 32 767. Plus généralement, avec des mots de n bits, on écrit les entiers relatifs compris entre -2n-1 et 2n-1-1:

•un entier relatifx positif ou nul compris entre 0 et 2n-1-1 est représenté par l’entier naturel x compris entre 0 et 2n-1-1;

•un entier relatif x strictement négatif compris entre – 2n-1 et – 1 est représenté par l’entier naturel x+2n compris entre 2n-1 et 2n-1.

Comme la notation décimale, la nota tion binaire permet aussi de repré- senter des nombres à virgule. En notation décimale, les chiffres à gauche de la virgule représentent des unités, des di zaines, des centaines, etc. et ceux à droite de la virgule, des dixièmes, des centièmes, des millièmes, etc.

De même, en binaire, les chiffres à droite de la virgule repr ésentent des demis, des quarts, des huitièmes, des seizièmes, etc. On peut ainsi représenter, par exemple, le nombre un et un quart : 1.01. Toutefois, cette manière de faire ne permet pas de représenter des nombres très grands ou très petits comme le nombre d’Avogadro ou la constant e de Planck.

On utilise donc une autre représentation similaire à la « notation scientifique » des calculatrices, sauf qu’elle est en base deux et non en ba se dix. Un nombre est représenté sous la forme sm2 ⁿ où s est le signe du nombre, n son exposant et m sa man- tisse. Le signe est + ou -, l’exposant est un entier relatif et la mantisse est un nombre à virgule, compris entre 1 inclus et 2 exclu.

Par exemple, quand on utilise 64 bits pour représenter un nombre à virgule, on utilise 1 bit pour le signe, 11 bits pour l’exposant et 52 bits pour la mantisse. Le signe + est représenté par 0 et le signe - par 1. L’exposant n est un entier relatif compris entre -1 022 et 1 023 ; on le représente comme l’entier naturel n + 1 023, qui est compris entre 1 et 2 046. Les deux entiers naturels 0 et 2 047 sont ré servés pour des situations excep- tionnelles (+ ∞ , - ∞ , NaN, etc.). La mantisse m est un nombre binaire à vir- gule compris entre 1 inclus et 2 exclu, comprenant 52 chiffres après la virgule. Comme cette mantisse est comprise entre 1 et 2, elle a toujours un seul chiffre avant la virgule et ce chi ffre est toujours un 1 ; il est donc inu- tile de le représenter et on utilise les 52 bits pour représenter les 52 chiffres après la virgule.